Números Primos – Guía completa – Piérdele el miedo



Los números primos fueron en una época de la historia un auténtico reto, incluso hasta ocasiona grandes molestias en las generaciones que se encargaban de estudiarlos, pues estos tienen la tendencia de aparecer donde quieren, sin un orden y sin alguna regla establecida.

Sin embargo a pesar de las incomodidades que generaban, y que incluso aun generan, son imposibles de ignorar ya que se consideran la esencia de la aritmética para no decir que de toda la matemática.

Lo más irónico del asunto es que en realidad para entender la base de los números primos solo basta con tener claro el sistema de numeración y las cuatros operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) tanto así que es uno de los primero temas que los niños aprenden de matemáticas en el colegio.

Pero está clara autoridad de los números primos no solo se encierra en el mundo de las matemáticas, sino que también forman parte de las actividades cotidianas del día a día.

Por ejemplo al establecer una contraseña para proteger el ordenador, la identidad  personal y bancaria, o simplemente para mantener una privacidad en el teléfono móvil, lo cual se debe a que son usados como pilares fundamentales en la seguridad informática.

¿Qué son los números primos?

Con fines de ejemplarizar el concepto del número primo para lograr interiorizar mejor el significado, se procede a explicar lo siguiente:

Al tomar un número cualquiera, por ejemplo el 10, está bien en claro que este número se puede expresar de diferentes formas como producto de otros números.

Este número presenta 4 divisores de los cuales son 1, 2,5 y 10, por lo tanto esto quiere decir que todos ellos son capaces de dividirse a 10.

Al decir que divide se entiende que si se realiza una división con 10 entre por ejemplo 5, dará como resultado un número natural, en este caso 2 y que el resto de la división es cero.

Entonces, supóngase que se aplica lo mismo pero con el número 3. Se encontrara que los únicos posibles divisores son dos: el número 1 y el mismo 3.

En efecto, también sucede algo parecido con números como 2, 5, 7,11 o 13. Esto se debe a que todos ellos son considerados como números primos, pues está definido que forman parte si sólo son divisibles por sí mismo y por la unidad.

Siguiendo el orden de ideas, una regla estricta sobre este tipo de números es que debe ser un número entero mayor que 1 y todos esos números que no lo sean se le denominan compuestos. Un ejemplo es: 91 = 7 × 13.

números primos

¿Cuántos números primos hay?

Determinar la cantidad de numero primos que pueden existir, es algo muy abstracto y complicado de representar, pues los primos son muy variables.

Se puede dar una idea, planteando el siguiente escenario: Hay más primos entre 1 y 100 que entre 101 y 200. Agregando que entre los números 1 y 1.000 hay aproximadamente más de 160 primos.

De modo que la enumeración de estos números aumentaría a medida que se avanza de mil en mil unidades.

Hoy en día existen muchas tablas creadas para tratar de representar estas grandes cantidades de números, tanto así que incluso se sabe que entre las mil unidades que van de 10100 y 10100 + 1.000 sólo hay 2 números primos.

Todo esto es posible obtenerse mediante la criba de Eratóstenes.

Por consiguiente, como dato para agregar, se conoce actualmente que el primo más grande descubierto es:

p = 257 885 161 – 1. Éste es un número con más de 17 millones de cifras

¿Cómo conocer si un número es primo?

El origen del número es primo o compuesto, si se elige el número que se quiera averiguar para dividirlo por la serie de números primos 2, 3, 5, 7, 11, hasta encontrar un divisor que tenga un cociente igual o menor que el divisor.

Entonces, si ocurre el caso donde todas las divisiones tienen el resto distinto de cero, el número propuesto es un número primo.

Por ejemplo en el caso de elegir 101, se procede a lo siguiente:

  • Se evalúa si es divisible con los números primos. En este caso el numero 101 no es divisible ni con el 2,3, 5 y 7.
  • Sin embargo, al proceder por el numero 11 el cociente arroja un número menor a 11, es decir, 9 < 11. Por tanto  el número 101 es un número primo.

Descomposición de un número en producto de factores primos

Para hacer una descomposición en factores primos, el método que hay que realizar es el siguiente:

  • Primero colocar el número en cuestión a la izquierda de una línea vertical.
  • Se evalúa los posibles números primos que sean divisible con el número en cuestión, empezando por el más pequeño.
  • En el caso de que sea divisible, se coloca el número primo al lado derecho de la línea.
  • Se ubica el resultado de la división en la parte izquierda y se comienza de nuevo con este número.
  • Se continúa el mismo proceso hasta llegar a un cociente igual a 1.
  • En la columna de la derecha se verán reflejadas todos los números primos que factorizan al número dado. Por ende, el número es igual al producto de los factores primos obtenidos.

Historia de los números primos

Los números primos son parte de la vida cotidiana, sin embargo ¿cuándo el hombre fue realmente consciente de la existencia de ellos?

Esto ha sido de intriga para muchos científicos por lo que se inició una investigación abierta que trajo como resultado, el descubrimiento de las huella más antiguas encontradas sobre este elemento aritmético.

Según datos, en las riveras del lago Edwards en el Zaire, £frica Central, donde entre los huesos hallados, se desenterró uno (el hueso de Ishango) pues se encontró que incluyen incisiones de hace 8.000 años aproximadamente.

Este hallazgo se conserva en el Instituto Real de Ciencias Naturales de Bélgica, en Bruselas. Estas incisiones en el hueso muestran cuatro grupos de incisiones de distintos tamaños que corresponden a los números 11, 13, 17 y 19, es decir, a los números primos comprendidos entre el 10 y el 20. Lo que lleva a pensar para muchos que posiblemente sea una improvisada tabla.

números primosPor otro lado, a pesar de la gran actividad de los egipcios y babilonios en los temas de cálculo, no se ha conseguido aun alguna prueba que adjudique su actividad en el mundo de los números primos.

Sin embargo, mucho se ha hablado de que seguramente los números primos debieron estar presente en los hombres del tercer y segundo milenios, pero que fueron borrados con el tiempo.

El teorema fundamental de la aritmética

Consta que todo número entero a > 1 se puede escribir como un producto de potencias de números primos. O sea,  a = …

Donde p1,…pk son primos distintos entre sí y cada exponente se entiende como positivo.

Este teorema deja en claro la conclusión de que los números primos son como los ladrillos de la matemática, haciendo semejanza con el hecho de que con los ladrillos es posible construir casas, por tanto ahí se direcciona su importancia.

De modo que esta expresión tiene un significado clave: de los elementos primarios se generan y construyen múltiples secuencias de números.

El teorema de Euclides

Euclides fue un maestro que construyo todo lo relativo a los números primos apoyándose en el concepto de máximo común divisor.

A continuación los resultados más destacados en su libro Elementos:

  • Plantea que el total de números primos es infinito.
  • Señala un método para construir números perfectos pares, el cual se basa que cuando 2p-1 es primo, entonces el número par 2p-1(2p -1) es un número perfecto. Hoy día estos números se conocen como se mostrará luego, con el nombre de números primos de Mersenne.
  • Indica que todo número entero es divisible por un número primo.
  • Apunta que un producto de números primos no es posible que sea divisible por otro número primo.
  • Establece que la potencia de un número primo solo es divisible por ese número primo y por sus potencias.

La criba de Eratóstenes

Eratóstenes de Cirene fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego nombrado director de la biblioteca de Alejandría. Este método creado por él se conoce como la criba de Eratóstenes.

La criba es un método muy utilizado para hallar los números primos subsecuentes dentro de un determinado intervalo.

Sin embargo esta manera no es una regla única para conseguir una relación de todos los números primos.

Por consiguiente se presentan los pasos que se deben realizar para aplicar la criba de los cien primeros números naturales.

  • Primero que todo, se elabora un atabla con todos los numero naturales del 2 al 100
  • Una vez hecho esto, se comienza a descartar todos aquellos que son múltiplos de dos (4, 6, 8, 10…), después los que son múltiplos de tres y así seguidamente con los múltiplos de cinco y siete.
  • En efecto, los números que queden sin eliminar, son todos números primos.
  • Se continua con el proceso de supresión hasta obtener el número mayor entero sin descartar cuyo cuadrado no exceda, de 100, es decir, hasta el 10. Cabe destacar que otra forma de verlo, es porque 10 es la raíz cuadrada de 100.

números primos

Por lo general para hallar todos los primos menores de un número N determinado, se ejecuta la criba para los números menores o iguales a √N.

Siguiendo la idea, como se ha señalado esto se aplica en los casos donde hay pequeños, pero en la actualidad habitualmente se presentan y es un requisito dominar los números grandes.

Existen consideraciones para manejar estos casos de números primos

En los números que se abarcan  entre 9 y 10 cifras, no se provoca algún problema para ser factorizados mediante números primos, los enteros de este tamaño, e incluso tiene la capacidad de construir las tabla de primos.

Por otro lado los números que lucen 100 cifras, no se encuentran con la posibilidad de construir una tabla de números primos que posean 100 cifras o menos.

Pero a pesar de esto, si se puede realizar una comprobación de si un número con esas cifras es o no primo.

En el caso de los números de 1000 cifras, se puede aplicar tests probabilísticos con un alto grado de certidumbre para comprobar si un entero de ese tamaño de cifras es o no primo.

Para los números con un millón de cifras se comprueba solo cuando se tenga una forma particular:  -1, números de Mersenne. Para proceder a este método se utiliza un algoritmo especial.

Por ultimo en esta ocasión donde los números son de mil millones de cifras, es muy probable que nunca se logre conseguir una manera para saber los números primos de este tamaño.

Los números de Mersenne

Se refuerza en la obra científica de Mersenne, en donde se enuncia que de entre todos los primos que hay entre los valores 2 y 257, el número 2p − 1 sólo es primo si el valor de p es alguno de los siguientes números: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127.

En la situación de tomar el número 2, al elevarse al último número de la lista, se obtiene como resultado un número de setenta y siete cifras. Por tanto es posible demostrar que si 2p− 1 es primo, entonces p también lo será, o de igual manera ocurriría al contrario.

Cabe destacar además que estos números forman parte importante en los llamados test de primalidad.

El teorema de Fermat

Esta famosa conjetura plantea que si n es un número entero mayor que 2 (es decir, n > 2), entonces no hay números enteros x, y, z distintos de 0 que puedan cumplir la igualdad. La expresión se da de la siguiente manera:

Por lo tanto el teorema confirma que todo número de la forma =+1 es primo.

Conjetura de Goldbach

Esta manifiesta que todo número par mayor a 2 puede representarse como la suma de dos números primos. Un ejemplo es:

4 = 2 + 2,  26 = 3 + 23 = 7 + 19 = 13 + 13

Conjetura de los primos gemelos

Una teoría que agrupa a un conjunto de los números primos con la capacidad de encontrarse en parejas de primos con una distancia de dos unidades. Es el caso de: 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31.

De ahí se le da el nombre de parejas primales se les conoce como primos gemelos. De modo que esta conjetura expresa estos números son infinitos.

Aplicación de los números primos

En la vida moderna, las matemáticas son la base de las mayorías de las realizaciones tecnológicas que existen. Haciendo énfasis en las tecnologías de la información y comunicación, debido a que tanto la codificación, como la compresión de datos y la criptografía aplican los métodos y conceptos de los números primos.

Algoritmo RSA

Antes de definir esta aplicación es pertinente explicar un concepto: la criptografía. Con este método estudiamos las diferentes maneras de cifrar mensajes secretos, que resultan en ocasiones informaciones confidenciales.

Por lo tanto, ya se puede aclarar que el algoritmo RSA es el método más conocido y seguro en relación a la criptografía.

Este es usado para la transmisión segura de datos a través de canales inseguros. El nombre RSA es acrónimo de Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman.

Se debe agregar que se ejecuta tomando los números primos muy grandes p y q, y se multiplican para encontrar un número compuesto n muy grande, con esto se tiene el fin de crear un algoritmo imposible de factorizar con los métodos fácilmente disponibles.

Conexión Cuántica

Es una teoría que plantea la existencia de una conexión que vincula el comportamiento de algunos elementos a escala atómica con los números primos, esto se basa en que es posible conseguir ciertos patrones en los niveles energéticos de los átomos grandes.

Los números primos y su enlace con la naturaleza

Los números primos están tan reflejados en la vida, que incluso se pueden encontrar en la naturaleza. Esto se demuestra en el caso de las cigarras, que se caracterizan por ser especies que pueden pasar 7, 13 o 17 años bajo tierra antes de emerger como adultas.

Por ende, su comportamiento ha estado bajo lupa pues tanto este insecto como muchos otros han evoluciona, según esta teoría, para mantener ciclos de vida que son números primos, lo cual es utilizado en favor para escaparse de depredadores o parásitos.

Al suceder esto, si el ciclo de vida del parásito o depredador es bienal o trienal, las cigarras ágilmente evitaran el encuentro con especies parásitas y depredadoras.

 

 



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